Question

Прошу помочь с задачей, представленной на картинке:

Answer 1

Ответ:

$\frac{m}{M} = \frac{1}{3}$  ;

$\delta = \frac{3}{4} = 0.75 = 75 \%$  .

Объяснение:

Если шайба на вершине горки будет иметь относительно земли такую же горизонтальную скорость, как и горка, т.е. если шайба на вершине замрёт относительно горки, то при соскальзывании вправо, за счёт потенциальной энергии, она бы набрала дополнительную скорость относительно горки, так что её скорость  $\overrightarrow{u}$  относительно земли оказалась бы больше скорости горки  $\overrightarrow{v}$  .

Аналогично, если бы скорость шайбы на вершине горки относительно земли была бы больше скорости горки, то при соскальзывании вправо, шайба набрала бы относительно земли ещё большую скорость  $\overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{v}$.

Так что понятно, что шайба соскользнёт с горки влево, и равенство скоростей будет выполняться только по модулю, так что совершенно ясно, что:

$\overrightarrow{u} = -\overrightarrow{v}$  ;

$| \overrightarrow{u} | = | \overrightarrow{v} |$  ;

$u = v = V$  ;

$u_x = -v_x$  ;

Теперь, по закону сохранения импульса:

$mu_{xo} = mu_x + Mv_x$  ;

$mu_o = -mV + MV = (M-m)V$  ;

$u_o = (\frac{M}{m}-1)V$  ;

Далее, по закону сохранения энергии (умножая сразу же на 2):

$mu_o^2 = mu^2 + Mv^2$  ;

$m (\frac{M}{m}-1)^2 V^2 = ( m + M )V^2$  ;

$( \frac{M}{m} - 1 )^2 = 1 + \frac{M}{m}$  ;

$( \frac{M}{m} )^2 - 2 \frac{M}{m} + 1 = 1 + \frac{M}{m}$  ;

$( \frac{M}{m} )^2 - 3 \frac{M}{m} = 0$  ;

$\frac{M}{m} ( \frac{M}{m} - 3 ) = 0$  ;

$\frac{M}{m} \neq 0$  ;

$\frac{M}{m} = 3$  ;

$\frac{m}{M} = \frac{1}{3}$  ;

Наибольшее приращение потенциальной энергии происходит в тот момент времени  $t$  , когда горка и шайба движутся, как единое целое, при этом по закону сохранения импульса:

$mu_o = (M+m)v_t$  ;

Начальная кинетическая энергия шайбы:

$E_K = \frac{mu_o^2}{2}$  ;

Минимальная кинетическая энергия совместного движения шайбы и горки в момент  $t$  наивысшего подъёма:

$E_{Kmin} = \frac{(M+m)v_t^2}{2} = \frac{((M+m)v_t)^2}{2(M+m)} = \frac{(mu_o)^2}{2(M+m)} = \frac{m}{M+m} \cdot \frac{mu_o^2}{2} = \frac{m}{M+m} \cdot E_K$  ;

Максимальное приращение потенциальной энергии шайбы в момент  $t$  наивысшего подъёма:

$E_{Pmax} = E_K - E_{Kmin} = E_K - \frac{m}{M+m} \cdot E_K = ( 1 - \frac{m}{M+m} ) E_K = \frac{M}{M+m} \cdot E_K$  ;

Доля  $\delta$  максимального приращения потенциальной энергии от начальной кинетической составляет:

$\delta = \frac{E_{Pmax}}{E_K} = \frac{M}{M+m} \cdot E_K \Big / E_K = \frac{1}{1+m/M} = \frac{1}{1+1/3} = 1/\frac{4}{3} = \frac{3}{4} = 0.75 = 75 \%$  .