Question

Решите уравнение:
$2sin3x+cos5x-\sqrt{3} sin5x=0$

Answer 1

Ответ:................

Объяснение:

Answer 2

$2sin\: 3x+cos \: 5x-\sqrt{3}\cdot sin\: 5x=0$

Будем применять метод вспомогательного аргумента (для 2-го и 3-го слагаемых):

$\displaystyle  \sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2} \left(\frac{1}{\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}}\cdot cos \: 5x-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}}\cdot sin\:5x  \right) = \\ = 2\left(\frac{1}{2}\cdot cos\:5x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot sin\:5x)=2\left(sin\frac{\pi}{6} \cdot cos\:5x-cos\frac{\pi}{6}\cdot sin\: 5x \right) =$

$\displaystyle = 2sin\left(\frac{\pi}{6}-5x\right)$

После преобразования видно, что делать дальше.

$\displaystyle 2sin\:3x+2sin\left(\frac{\pi}{6}-5x\right)=0 \Rightarrow sin\:3x+sin\left(\frac{\pi}{6}-5x\right)=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow 2sin\left(\frac{3x+\frac{\pi}{6}-5x}{2}\right)cos\left(\frac{3x-(\frac{\pi}{6}-5x)}{2}\right)=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow 2sin\left(-x+\frac{\pi}{12} \right)cos\left(4x-\frac{\pi}{12}\right)=0 \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow \left [ {{sin\left(x-\frac{\pi}{12}\right)=0} \atop {cos\left(4x-\frac{\pi}{12}\right)=0}} \right. \Rightarrow \left [ {{x-\frac{\pi}{12}=\pi k,\: k\in \mathbb{Z}} \atop {4x-\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{2}+\pi n, \: n\in \mathbb{Z}}} \right. \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow \left [ {{x=\frac{\pi}{12}+ \pi k, \:k\in \mathbb{Z} } \atop {4x=\frac{7\pi}{12}+\pi n,\: n\in \mathbb{Z}}} \right. \Rightarrow \left [ {{x=\frac{\pi}{12}+ \pi k, \:k\in \mathbb{Z} } \atop {x=\frac{7\pi}{48}+\frac{\pi n}{4},\: n\in \mathbb{Z}}} \right.$

Ответ: $\boxed{x=\frac{\pi}{12}+ \pi k, \:k\in \mathbb{Z}; x=\frac{7\pi}{48}+\frac{\pi n}{4},\: n\in \mathbb{Z}}$

Формулы, которые использовались:

1. Введение дополнительного аргумента

$\displaystyle a\:cosx\pm b\:sinx=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot cosx \pm\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot sinx \right) =\\=\sqrt{a^2+b^2} \left(sin\phi\cdot cosx\pm cos\phi\cdot sinx)=\sqrt{a^2+b^2}\cdot sin(\phi \pm x)$

$\displaystyle \phi = arcsin\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=arccos\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Кстати, если поменять косинус и синус местами, то все везде по ходу преобразований эти самые замены будут произведены и в итоговом синусе суммы внутри надо будет переставить аргументы местами (естественно, особое значение это играет при наличии знака "-")

2. Сумма/разность синусов:

$\displaystyle sin\:x\pm sin\:y=2\:sin\frac{x\pm y}{2}cos\frac{x\mp y}{2}$