Question

В параллелограмме ABCD точка M -середина стороны AD,О-точка пересечения диагоналей. Докажите,что площадь треугольника AOM в 8 раз меньше площади параллелограмма ABCD
Срочно!

Answer 1

Дано :

Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.

Точка М - середина AD.

Отрезки АС и BD - диагонали.

Точка О - точка пересечения диагоналей.

Доказать :

$S(\triangle AOM) = \frac{S(ABCD)}{8}$

Доказательство :

• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно -

BO = OD, AO = OC.

Рассмотрим ΔABD.

Для ΔABD отрезок АО - медиана (по определению).

Сама же S(ΔABD) в два раза меньше S(ABCD) (так как диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, которые так же имеют равные площади).

То есть -

$S(\triangle ABD) = \frac{S(ABCD)}{2}$

• Медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника.

Отсюда -

S(ΔAOD) = S(ΔABO) = $\frac{S(\triangle ABD) }{2} = \frac{\frac{S(ABCD)}{2} }{2} = \frac{S(ABCD)}{4}$.

Рассмотрим ΔAOD.

Для него отрезок ОМ - медиана (по определению).

Тогда по выше сказанному -

S(ΔAOM) = S(ΔMOD) = $\frac{S(\triangle AOD) }{2} = \frac{\frac{S(ABCD)}{4} }{2} = \frac{S(ABCD)}{8}$.

Ответ :

Что требовалось доказать.