Question

Решить систему уравнений, исследовав на совместность по теореме
Кронекера-Капелли:
А) 5х1+2х2+3х3=0             Б)  2х1-4х2+5х3=0
    2х1-2х2+5х3=0                    х1-3х2+3х3=0 
    3х1+4х2+2х3=0                   3х1-5х2+9х3=0
 

Answer 1

Однородная система линейных уравнений всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если ранг матрицы меньше количества переменных.

а) $left[begin{array}{ccc}5&2&3\2&-2&5\3&4&2end{array}right] => left[begin{array}{ccc}10&4&6\2&-2&5\6&8&4end{array}right] => left[begin{array}{ccc}0&14&-19\2&-2&5\0&14&-11end{array}right] => left[begin{array}{ccc}2&-2&5\0&14&-11\0&0&-8end{array}right]$
1: 1ю строку *2
    3ю строку *2
2: из первой строки вычитаем вторую строку, умноженную на 5
    из третьей строки вычитаем вторую строку, умноженную на 3
3: из первой строки вычитаем третью строку и располагаем строки в порядке убывания
приведя матрицу к ступенчатому виду, видим, что её ранг равен трём и равен количеству переменных => СЛУ имеет только одно тривиальное (все переменные равны 0) решение


б) $left[begin{array}{ccc}2&-4&5\1&-3&3\3&-5&9end{array}right] => left[begin{array}{ccc}0&-2&1\1&-3&3\0&4&0end{array}right] => left[begin{array}{ccc}1&-3&3\0&4&0\0&4&2end{array}right] => left[begin{array}{ccc}1&-3&3\0&4&0\0&0&2end{array}right]$

1: из первой строки вычитаем удвоенную вторую строку
   из третьей строки вычитаем утроенную вторую строку
2: умножаем первую строку на -2
   меняем местами первую и вторую строку
3: вычитаем из третьей строки вторую строку и меняем их местами, таким образом приводя матрицу к ступенчатому виду
видим, что ранг матрицы равен 3 и равен количеству переменных => СЛУ имеет только одно тривиальное решение