Question

Решите пожалуйста!

1) 2cosx-3dinxcosx=0
2) x+y= П
Cosx-cosy=0
3)sin(x^2-1)=sin2x

Answer 1

Объяснение:

1)

$\cos(x) (2 - 3 \sin(x) ) = 0 \\ \cos(x) = 0 \\ \sin(x) = \frac{2}{3}$

отсюда получаем два решения:

$x_{1} = \frac{\pi}{2} + n\pi \\ x_{2} = {( - 1)}^{k} arcsin( \frac{2}{3} ) + k\pi$

2)

рассмотрим второе уравнение:

$\cos(x) - \cos(y) = - 2 \sin( \frac{x + y}{2} ) \sin( \frac{x - y}{2} ) = 0$

подставляя из первого

$- 2 \sin( \frac{\pi}{2} ) \sin( \frac{x - y}{2} ) = 0 \\ - 2 \times 1 \times \sin( \frac{x - y}{2} ) = 0 \\ \sin( \frac{x - y}{2} ) = 0 \\ \frac{x - y}{2} = n\pi \\ x - y = 2n\pi$

теперь сложим получившееся со вторым уравнением

$2x = \pi + 2n\pi \\ x = \frac{\pi}{2} + n\pi$

откуда

$y = \pi - x = \pi - \frac{\pi}{2} - n\pi = \\ = \frac{\pi}{2} - n\pi$

3)

$\sin( {x}^{2} - 1) = \sin(2x)$

общее решение:

${x}^{2} - 1 = n\pi + {( - 1)}^{n} \times 2x$

рассмотрим варианты при n четном и нечетном:

n=2k

${x}^{2} - 1 = 2k\pi + 2x \\ {x}^{2} - 2x + 1 = 2 + 2k\pi \\ {(x - 1)}^{2} = 2 + 2k\pi \\ |(x - 1)| = \sqrt{2 + 2k\pi} \\ x_{1} = 1 + \sqrt{2 + 2k\pi} \\ x_{2} = 1 - \sqrt{2 + 2k\pi}$

n=2k+1

${x}^{2} - 1 = (2k + 1)\pi - 2x \\ {x}^{2} + 2x + 1 = 2 + (2k + 1)\pi \\ {(x + 1)}^{2} = 2 + (2k + 1)\pi \\ |(x + 1)| = \sqrt{2 + (2k + 1)\pi} \\ x_{1} = - 1 + \sqrt{2 + (2k + 1)\pi} \\ x_{2} = - 1 - \sqrt{2 + (2k + 1)\pi}$