Question

найдите sin(a/2) , если sin(a)=1/2 и pi/2 < a < pi

Answer 1

Вспомним формулу двойного угла косинуса:

$cos2\alpha = cos^2\alpha - sin^2\alpha$

Перепишем формулу, как будто наш обычный угол - это половинный, а двойной - обычный альфа.

$\displaystyle cos\alpha = cos^2\frac{\alpha}{2}-sin^2\frac{\alpha}{2}; \ cos^2\frac{\alpha}{2}=1-sin^2\frac{\alpha}{2} \Rightarrow  cos\alpha = 1-2sin^2\frac{\alpha}{2}$

Выразим отсюда наш синус половинного угла:

$\displaystyle 2sin^2\frac{\alpha}{2}=1-cos\alpha \Rightarrow \boxed{sin\frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cos\alpha}{2}}}$

Учитываем, что

$\displaystyle \frac{\pi }{2}<\alpha  <\pi  \Rightarrow cos\alpha <0; \frac{\pi}{4}<\frac{\alpha }{2}<\frac{\pi }{2} \Rightarrow sin\frac{\alpha }{2}>0$

Знак у внешнего корня будет "+", а внутренний сейчас появится:

В корне есть $cos\alpha$, который надо найти, а делается это из основного тригонометрического тождества:

$sin^2\alpha +cos^2\alpha =1 \Rightarrow cos\alpha  = \pm \sqrt{1-sin^2\alpha }$

Уже выяснили, что у косинуса знак "-", теперь подставим его в нашу формулу вместе со знаком и в итоге получим:

$\displaystyle sin\frac{\alpha}{2}= \sqrt{\frac{1-(-\sqrt{1-sin^2\alpha } )}{2}} \Rightarrow \boxed{sin\frac{\alpha}{2}= \sqrt{\frac{1+\sqrt{1-sin^2\alpha } }{2}}}$

Подставляем и считаем:

$\displaystyle sin\frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{1-\bigg(\frac{1}{2} \bigg)^2} }{2} }  = \sqrt{\frac{1+\sqrt{\frac{3}{4} } }{2} } =\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{3} }{2} }{2} }=\sqrt{\frac{\frac{2+\sqrt{3} }{2} }{2} } =\sqrt{\frac{2+\sqrt{3} }{4} }$

Ответ:

$\displaystyle \boxed{sin\frac{\alpha }{2}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3} } }{2}  }$