Предмет: Алгебра, автор: Yandere1

Найти предел (стремится к бесконечности)
Lim(1+4+9+...n^2)/n^3+3n+2

Ответы

Автор ответа: Vasily1975

Ответ: 1/3.

Объяснение:

Сумма квадратов первых n чисел Sn=n*(n+1)*(2*n+1)/6=(2*n³+3*n²+n)/6, поэтому Sn/(n³+3*n+2)=(2*n³+3*n²+n)/(6*n³+18*n+12). Разделив числитель и знаменатель этой дроби на n³, получим выражение (2+3/n+1/n²)/(6+18/n²+12/n³). Так как при n⇒∞ выражения 3/n, 1/n², 18/n² и 12/n³ стремятся к нулю, то искомый предел равен 2/6=1/3.

Vasily1975: Это натолкнуло меня на мысль, что сумма квадратов первых n натуральных чисел есть многочлен третьей степени, т.е. a*n^3+b*n^2+c*n+d.

Vasily1975: Затем, найдя сумму квадратов для n=1, n=2,n=3 и n=4 (то есть 1, 5, 14 и 30), я получил систему из четырёх уравнений с четырьмя же неизвестными:

Vasily1975: a+b+c+d=1, 8*a+4*b+2*c+d=5, 27*a+9*b+3*c+d=14, 64*a+16*b+4*c+d=30.

Vasily1975: Решая её, находим a=1/3, b=1/2, c=1/6 и d=0.

Vasily1975: Т.е. 1^2+2^2+.....+n^2=1/3*n^3+1/2*n^2+1/6=(2*n^3+3*n^2+n)/6=n*(2*n^2+3*n+1)/6. А так как 2*n^2+3*n+1=(2*n+1)*(n+1), то 1^2+2^2+...+n^2=n*(n+1)*(2*n+1)/6.

Vasily1975: Затем уже я нашёл в литературе эту формулу и убедился, что не ошибся.

Vasily1975: Кстати, тем же способом я нашёл сумму кубов и сумму четвёртых степеней первых n натуральных чисел.

Vasily1975: Отсюда следует общий вывод: сумма n натуральных чисел, возведённых в степень k, представляет собой многочлен степени k+1.

Vasily1975: Вернее, сумма ПЕРВЫХ n натуральных чисел, возведённых в степень k.

Vasily1975: Ещё уточнение: k - НАТУРАЛЬНОЕ число.

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Похожие вопросы

Предмет: Алгебра, автор: Verbre

Алгебра помогите плиз

5 лет назад

Предмет: Русский язык, автор: varrrrr234