Question

даны векторы а=-i+5k, b=-3i+2j+2k , c=-2i-4j+k Необходимо: а)вычислить скалярное произведение двух векторов 2b и 3a б)найти
модуль векторного произведения 7а и -3с в) вычислить смешанное произведение трех векторов 3а , -4b , 2с г)проверить будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора b и c д)проверить будут ли компланарны три вектора 7а , 2b , -3c

Answer 1

выпишем координаты данных векторов:

$\vec{a}=(-1,0,5);\ \vec{b}=(-3,2,2);\ \vec{c}=(-2,-4,1)$

a)

координаты:

$3*\vec{a}=(3*(-1),3*0,3*5)=(-3,0,15)\\</p><p>2*\vec{b}=(-6,4,4)$

скалярное произведение векторов - число:

$3\vec{a}*2\vec{b}=(-3)*(-6)+0*4+15*4=18+60=78$

б)

координаты:

$7*\vec{a}=(-7,0,35)\\</p><p>(-3)*\vec{c}=(6,12,-3)$

векторное произведение векторов - вектор, находим его координаты:

$7\vec{a}\times (-3\vec{b})=\left|</p><p>\begin{array}{ccc}</p><p>\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\</p><p>-7 & 0 & 35 \\</p><p>6 & 12 & -3</p><p>\end{array}</p><p>\right|=\vec{i}*\left|</p><p>\begin{array}{cc}</p><p>0 & 35 \\</p><p>12 & -3</p><p>\end{array}</p><p>\right|-\vec{j}*\left|</p><p>\begin{array}{cc}</p><p>-7 & 35 \\</p><p>6 & -3</p><p>\end{array}</p><p>\right|+\vec{k}*\left|</p><p>\begin{array}{cc}</p><p>-7 & 0 \\</p><p>6 & 12</p><p>\end{array}</p><p>\right|=\vec{i}*(-12*35)-\vec{j}*(21-6*35)+\vec{k}*(12*(-7))=\\=-420\vec{i}+189\vec{j}-84*\vec{k}=(-420,189,-84)$

находим модуль(длину) полученного вектора:

$|7\vec{a}\times (-3\vec{b})|=\sqrt{420^2+189^2+84^2}=\sqrt{21^2(20^2+9^2+4^2)}=21\sqrt{497}$

в)

координаты:

$3\vec{a}=(-3,0,15)\\</p><p>-4\vec{b}=(12,-8,-8)\\</p><p>2\vec{c}=(-4,-8,2)$

смешанное произведение векторов - число, находим его:

$(3\vec{a},(-4\vec{b}),2\vec{c})=\left|</p><p>\begin{array}{ccc}</p><p>-3 & 0 & 15 \\</p><p>12 & -8 & -8 \\</p><p>-4 & -8 & 2</p><p>\end{array}</p><p>\right|=\\=-3*\left|</p><p>\begin{array}{cc}</p><p>-8 & -8 \\</p><p>-8 & 2</p><p>\end{array}</p><p>\right|+15*\left|</p><p>\begin{array}{cc}</p><p>12 & -8 \\</p><p>-4 & -8</p><p>\end{array}</p><p>\right|=-3(-16-64)+15(-96-32)=240-1920=-1680$

г)

Координаты:

$\vec{b}=(-3,2,2)\\</p><p>\vec{c}=(-2,-4,1)$

Векторы коллинеарны, если их соответствующие кординаты пропорциональны

Проверим это утверждение:

$\frac{-3}{-2}\neq \frac{2}{-4}$

Данное равенство неверно, значит векторы b и c не коллинеарны

Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.

Проверим это утверждение:

$\vec{b}*\vec{c}=6-8+2=0$

- верно, значит данные векторы ортогональны

Векторы b и c ортогональны

д)

Координаты:

$7*\vec{a}=(-7,0,35)\\</p><p>2*\vec{b}=(-6,4,4)\\</p><p>(-3)*\vec{c}=(6,12,-3)$

Три вектора компланарны, если их смешанное произведение равно нулю.

$(7*\vec{a},2*\vec{b},(-3)*\vec{c})=\left|</p><p>\begin{array}{ccc}</p><p>-7 & 0 & 35 \\</p><p>-6 & 4 & 4 \\</p><p>6 & 12 & -3</p><p>\end{array}</p><p>\right|=-7*\left|</p><p>\begin{array}{cc}</p><p>4 & 4 \\</p><p>12 & -3</p><p>\end{array}</p><p>\right|+35*\left|</p><p>\begin{array}{cc}</p><p>-6 & 4 \\</p><p>6 & 12</p><p>\end{array}</p><p>\right|=-7(-12-48)+35*(-72-24)=420-3360=-2940$

-2940 не равно нулю => данные векторы не компланарны.