Question

sinx cos5x-sin9x cos3x=0​

Answer 1

Пользуясь тригонометрическими формулами перехода от произведения к сумме, получим

$\dfrac{1}{2}\Big(\sin 6x-\sin 4x\Big)-\dfrac{1}{2}\Big(\sin12x+\sin 6x\Big)=0\\ \\ \sin 6x-\sin 4x-\sin 12x-\sin 6x=0\\ \\ \sin12x+\sin 4x=0\\ \\ 2\sin\dfrac{12x-4x}{2}\cdot \cos\dfrac{12x+4x}{2}=0\\\\ 2\sin 4x\cos8x=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей обращается к нулю.

$\sin 4x=0\\\\ 4x=\pi k,k \in \mathbb{Z}~~~~\Rightarrow~~~~\boxed{x_1=\dfrac{\pi k}{4},k\in \mathbb{Z}}\\ \\ \cos8x=0\\ \\ 8x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z}~~~~~\Rightarrow~~~~~\boxed{x_2=\dfrac{\pi}{16}+\dfrac{\pi n}{8},n \in \mathbb{Z}}$