Question

Натуралист решил исследовать популяцию кувшинок на озере. Он каждый день записывал количество кувшинок в течение 100 дней и обнаружил следующую закономерность. Каждый день число кувшинок увеличивалось на 2n+1 кувшинку по сравнению с предыдущим днем, где n- это номер дня наблюдения. Сколько находилось кувшинок на озере на 100 день наблюдения, если известно, что в первый день на озере была только четыре кувшинки?

Криптография 10класс этот год с решением, но можно только ответ)

Answer 1

Ответ:

10201

Пошаговое объяснение:

Пусть $a_n$ - количество кувшинок в день n. Тогда по условию:

$a_1=4$

$a_n=a_{n-1}+2n+1$, при n > 1

Тогда $a_n$ можно представить так:

$a_n=a_{n-1}+(2n+1) = a_{n-2} + (2(n-1)+1) + (2n+1)=...=a_1 + (2*2+1) + (2*3+1) + (2*4+1)+... + (2*n+1)$

Можно вычислить сумму с помощью формулы суммы арифметической прогрессии (число слагаемых n-1).

$a_n=a_1 + 2*(2+...+n)+(1+...+1)=a_1+2*\frac{2+n}{2}(n-1)+(n-1)=a_1+(n+3)(n-1)$

Подставим значения $a_1=4$ и n=100.

$a_{100}=4+(100+3)(100-1)=10201$