Числа от 1 до 100 выписаны в строчку. Инна и Нонна по очереди расставляют между числами знаки действий: плюс или минус. После того как все знаки расставлены, вычисляют значение полученного выражения. Если получили чётное число, то выигрывает первый игрок, если нечётное — второй игрок.
Кто из игроков выиграет в этой игре, если Инна начинает первой игру?
Ответы
Ответ:
Первый игрок - Инна.
Пошаговое объяснение:
Вне зависимости от расстановки знаков в итоге значение выражения получится четным, поэтому всегда будет выигрывать первый игрок. Докажем это.
Будем рассматривать все возможные суммы из первых k чисел с произвольными знаками.
При k = 1 это {1}
При k = 2 это {1-2, 1+2} = {-1, 3}
При k = 3 это {-1-3, -1+3, 3-3, 3+3} = {-4, 0, 2, 6}
Видим, что четность чисел в множестве для фиксированных первых k одинаковая. Тогда очевидно, что если формировать множество для последовательности чисел длины k+1, то также получится множество с числами одинаковой четности. Объясняется это тем, что если взять конкретное число x, вычислить сумму и разность с некоторым y, то получатся два числа x-y и x+y одинаковой четности, так как (x+y) - (x-y) = 2y - четное.
Поэтому чтобы определить четность выражения из 100 элементов 1...100 с произвольными знаками, достаточно взять сумму с плюсами - она будет иметь ту же четность, что и любая другая сумма. (1+100)/2*100 = 5050 - четное число, поэтому побеждает всегда первый игрок.