Question

4 номер по планиметрии 100б​

Answer 1

Ответ:

$r=\frac{40}{3}=13\frac{1}{3}$.

Пошаговое объяснение:

Дано (см. рисунок):

KM - касательная к окружности

KO - секущая окружности

KM=10

MN=8

∠MNK=90°

Найти радиус r.

Решение.

Известно, что радиус окружности перпендикулярен к касательной в точке касания M, то есть ∠OMK=90°.

Рассмотрим треугольники Δ MNK и ΔMOK:

∠MKN=∠MKO, ∠MNK=∠OMK=90° и в силу свойства о подобии треугольников треугольники Δ MNK и ΔMOK подобны. Тогда

$\frac{MO}{MK}=\frac{MN}{KN}$ или

$\frac{r}{10}=\frac{8}{KN}$ или

r=10·8/KN=80/KN.

Но Δ MNK прямоугольная и поэтому для него верна теорема Пифагора:

MK²=MN²+KN² или KN²=MK²-MN²=10²-8²=100-64=36=6² или KN=6.

r=80/KN=80/6=40/3.

Ответ: $r=\frac{40}{3}=13\frac{1}{3}$.