Question

$\left \{ {{\sqrt{x}+\sqrt{y}=5 } \atop \sqrt{xy}=4 }} \right.$

Answer 1

$\left \{ {{\sqrt{x}+\sqrt{y}=5} \atop {\sqrt{xy}=4 }} \right.$

По теореме Виета :

или  √x =1  , а  √y = 4  и тогда  x = 1  ,  а  y = 16

или  √x = 4 , а  √y = 1   и тогда  x = 16 , а  y = 1

Ответ : (1 ; 16) , (16 ; 1)

Answer 2

ОДЗ: $x>0, \quad y>0.$

Сделаем замены $\sqrt{x}=u, \qquad \sqrt y= v$. Получим систему:

$\begin{cases}u+v=5\\uv=4 \end{cases}$

Пользуясь обратной теоремой Виета, составим квадратное уравнение:

$z^2-5z+4=0\\D=(-5)^2-4 \cdot 4=25-16=9\\\sqrt{D}=3\\z_1=\dfrac{5+3}{2}=4, \qquad z_2=\dfrac{5-3}{2}=1$

Следовательно:

$u_1=4, \qquad v_1=1\\u_2=1, \qquad v_2=4$

Вернёмся к исходным переменным. Сначала разберём первый случай с $u_1, \; v_1$:

$\sqrt{x}=4 \quad \Rightarrow \quad x=16\\\sqrt y = 1 \quad \Rightarrow \quad y=1$

Второй вариант, очевидно, будет симметричен (получится перестановкой переменных): $x=1, \quad y=16.$

Ответ: (1; 16) и (16; 1).