Question

Математический анализ. Вычислить производные.

1) $y = t * sin2^{t}$

2) $y = lg * sinx$

3) $y = ln^{2} x - ln (lnx)$



(и мне совершенно не понятно в каком месте вам не понятно задание)

Answer 1

1)

$y = t \times \sin( {2}^{t} )$

Функция представлена произведением переменной на синус от экспоненты (сложная функция)

$y' = (t \times \sin( {2}^{t} ) )' = (t)' \times \sin( {2}^{t} ) + t( \sin( {2}^{t} ) )' = \\ = \sin( {2}^{t} ) + t( \sin( {2}^{t} ) )' = \sin( {2}^{t} ) + t(( \sin( {2}^{t} ) )'( {2}^{t} )') = \\ = \sin( {2}^{t} ) + {2}^{t} \cos( {2}^{t} ) t \times ln(2)$

2)

$y = lg(x) \sin(x)$

Функция представлена произведение, поэтому дифференцируем по правилу дифференцирования произведения:

$y' = ( lg(x) \sin(x) )' = ( lg(x) )' \sin(x) + lg(x) ( \sin(x) )' = \\ = \frac{ \sin(x) }{ lg(10)x } + lg(x) \cos(x)$

3)

$y = ln^{2} (x) - ln( ln(x) )$

Данная функция – разница двух других сложных функций.

$y' = ( ln^{2} (x) - ln( ln(x) ) )' = \\ = ( ln^{2} (x) )' - ( ln( ln(x) ) )' = \\ = ( ln^{2} (x))' \times ( ln(x)) - ( ln( ln(x) ) )' \times ( ln(x)) ' = \\ = \frac{2 ln(x) }{x} - \frac{1}{ ln(x) } \times \frac{1}{x} = \frac{2 ln(x) }{x} - \frac{1}{ ln(x)x } = \\ = \frac{2 ln^{2} (x) - 1}{x ln(x) }$