Question

Найдите целое значение параметра a, при котором сумма квадратов корней уравнения x^2 +x−2ax+ 2+a^2 = 0 принимает наименьшее значение

Answer 1

А вообще интересная задача, по ходу решения возникают некоторые интересности, которые обязательно отметим.

Перепишем уравнение в более красивый и читаемый вид:

$x^2+(1-2a)x+a^2+2=0;\ p=1-2a;\ q=a^2+2$

Это уравнение приведенное уже, поэтому коэффициенты в таком виде.

Теперь запишем теорему Виета:

$\left \{ {{x_1+x_2=-p } \atop {x_1\cdot x_2=q}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x_1+x_2=-(1-2a)} \atop {x_1\cdot x_2=a^2+2}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x_1 + x_2=2a-1} \atop {x_1\cdot x_2=a^2+2}} \right.$

Но нам нужна сумма квадратов корней уравнения, но это не проблема, у нас есть все, чтобы выразить её через известные величины.

$x_1^2+x_2^2=x_1^2+2\cdot x_1\cdot x_2+x_2^2-2\cdot x_1 \cdot x_2= (x_1+x_2)^2-2\cdot x_1 \cdot x_2= \\ (2a-1)^2-2\cdot (a^2+2)=4a^2-4a+1-2a^2-4=2a^2-4a-3 \Rightarrow \\ \Rightarrow \boxed{x_1^2+x_2^2=2a^2-4a-3}$

И вот здесь сейчас начнется веселье.

Нам нужно, чтобы это выражение было наименьшим.

Исследуя функцию $f(a)=2a^2-4a-3$, понимаем, что это парабола с ветвями, направленными вверх, то есть точка минимума в вершине, она же единственный экстремум, который находится из уравнения

$f'(a)=0 \Rightarrow 4a-4=0 \Rightarrow a=1$

Вроде бы нашли это значение. Но давайте проверим его)

$x^2+x-2\cdot 1\cdot x+2+1^2=0 \\ x^2-x+2=0 \\ D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 2 = 1=-8=-7<0$

Но это неудивительно. Вот те самые самые интересные моменты.

Почему вообще так получилось? Есть такая вещь в математике, как комплексные числа. Кратко: нужно решить уравнение $x^2=-9$, математикам очень захотелось, поэтому уравнение имеет решения, конкретно у этого уравнения их два, это $x=\pm 3i$

$i$ - мнимая единица, такое число, что $i^2=-1$

Комплексное число $z$ имеет вид: $z=x+i\cdot y$, то есть у него есть мнимая и действительная часть.

Так вот: у любого уравнения, у которого вид $f^n(x)=0$, где $f^n(x)$ - многочлен n-ой степени, всегда будет n корней (учитывая их кратность), по следствию из основной теоремы алгебры. Это я к чему. У квадратного уравнения всегда 2 корня. Просто в ситуациях, когда $D<0$, эти корни комплексные, в ситуации $D=0$, корень то один, но кратности 2, но вообще считают, что два равных корня.

В целом, у задачки вид ЕГЭшный, поэтому надо бы ограничиться множеством действительных чисел, но если бы подразумевалось, что мы анализируем и множество комплексных чисел, то ответ был бы $a=1$. Нужно продолжить. Но пока покажу, почему теорема Виета работает исправно в любых случаях.

Дорешаем уравнение при $a=1$

$x^2-x+2=0; D=-7; x=\frac{1\pm i\sqrt{7}}{2}$

$x_1+x_2=\frac{1+i\sqrt{7}}{2}+\frac{1-i\sqrt{7}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{7}}{2} -\frac{i\sqrt{7}}{2}=1$

$x_1\cdot x_2=\frac{1+i\sqrt{7}}{2}\cdot \frac{1-i\sqrt{7}}{2}=\frac{(1+i\sqrt{7})(1-i\sqrt{7})}{4}=\frac{1^2-(i\sqrt{7})^2}{4}=$

$=\frac{1-i^2\cdot (\sqrt{7})^2}{4}=\frac{1-(-1)\cdot 7}{4}=\frac{1+7}{4} =2$

А ведь это именно то, что мы получим по теореме Виета)))

$-p=-(-1)=1=x_1+x_2; q=2=x_1\cdot x_2$

Как же не влезать в комплексные числа?

Очевидно, что дискриминант у нашего исходного уравнения не должен быть отрицательным, то есть:

$x^2+(1-2a)x+a^2+2=0\\ D=(1-2a)^2-4\cdot 1 \cdot (a^2+2)=4a^2-4a+1-4a^2-8=-4a-7 \geq 0 \\ -4a \geq 7 \Rightarrow a\leq-\frac{7}{4}$

Единица находится в другой стороне от нашего полученного множества значений $a$. Получается, что сумма квадратов корней уравнения будет побольше, чем при $a=1$, и минимальное нецелое $a$ это $a=-\frac{7}{4}=-1.75$, там будет 2 равных корня. А ближайшее целое значение, удовлетворяющее условию, это $a=-2$.

Ответ: $\boxed{a=-2}$