Question

Определить сумму коэффициентов a и b линейной убывающей функции f(x)=ax+b, если f(f(1/a))=b и f(f(b))=b.

Answer 1

Вложенность функций -  не проблема)

$f\bigg(\frac{1}{a}\bigg)=a\cdot \frac{1}{a}+b=1+b=b+1;$

$f(b)=a\cdot b+b$

$f\bigg(f\bigg(\frac{1}{a}\bigg)\bigg)=f(b+1)=a\cdot (b+1)+b=b \Rightarrow \boxed{a\cdot (b+1)=0}$

Вот уже получили какое-то соотношение. Вспомним условие: $f(x)$ - линейная убывающая функция, по условию её угловой коэффициент равен $a$, раз функция убывающая, то $a<0$, то есть $a \neq 0$, то есть мы можем поделить на $a$ без проблем.

$a\cdot (b+1)=0 \bigg | : a \neq 0 \Rightarrow b+1=0 \Rightarrow \boxed{b=-1}$

Вот и коэффициент $b$ нашли. Теперь надо найти второй, для этого есть второе равенство.

$f(f(b))=f(a\cdot b +b)=a\cdot (a\cdot b +b)+b=a\cdot b\cdot (a+1)+b=b \\ a\cdot b\cdot (a+1)=0$

Так как $b=-1$, то есть $b \neq 0$, то можем поделить на него без проблем.

$a\cdot b \cdot (a+1)=0 \bigg | : b \neq 0\Rightarrow a\cdot (a+1)=0 \Rightarrow \left [ {{a=0} \atop {a=-1}} \right.$

Правда, снова вернемся к тому, что функция неубывающая. То есть $a<0$, значит, первое значение не подойдет.

То есть получаем наши коэффициенты:

$\left \{ {{a=-1} \atop {b=-1}} \right.$

То есть функция имеет вид: $\boxed{f(x)=-x-1}$

Ответ: $f(x)=-x-1$