Question

Решить дифференциальное уравнение (фото). Напишите подробнее

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение является однородным. Пусть $y=ux$, тогда $y'=u'x+u$, получаем

$u'x+u=\dfrac{3x^2+2ux^2-u^2x^2}{3u^2x^2+2ux^2-x^2}\\ \\ \\ u'x+u=\dfrac{3+2u-u^2}{3u^2+2u-1}\\ \\ \\ u'x+u=-\dfrac{(u-3)(u+1)}{(3u-1)(u+1)}~~~\Rightarrow~~~ u'x+u=\dfrac{3-u}{3u-1}\\ \\ \\ u'x=\dfrac{3-u}{3u-1}-u~~~\Rightarrow~~~ u'x=-\dfrac{3(u^2-1)}{3u-1}$

Последнее дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

$\dfrac{(3u-1)du}{u^2-1}=-\dfrac{3}{x}~~~\Rightarrow~~~ \displaystyle \int \dfrac{(3u-1)du}{u^2-1}=-\int\dfrac{3dx}{x}\\ \\ \\ 3\int\dfrac{udu}{u^2-1}-\int\dfrac{du}{u^2-1}=-3\dfrac{}{}\int\dfrac{dx}{x}\\ \\ \\ \dfrac{3}{2}\ln|u^2-1|-\dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{1-u}{1+u}\right|=-3\ln|x|+C\\ \\ \\ \ln|1-u|+2\ln|1+u|=-3\ln|x|+\ln C\\ \\ (1-u)\cdot (1+u)^2=\dfrac{C}{x^3}$

Выполним обратную замену: u = y/x, получим общий интеграл

$\left(1-\dfrac{y}{x}\right)\cdot \left(1+\dfrac{y}{x}\right)^2=\dfrac{C}{x^3}$