Question

Число 24 представьте в виде суммы трех положительных чисел так, что первое число относится ко второму как 1:2, а сумма кубов первого и второго и квадрата третьего приобретает малейшего значения.

Число 24 подайте у вигляді суми трьох додатних чисел так,що перше число відноситься до другого як 1:2 , а сума кубів першого і другого та квадрата третього набуває найменшого значення.

Answer 1

1) Сначала распишем условия и выразим все через одно неизвестное:
$a+b+c=24$ где $a,b,c>0$
$frac{a}{b} = frac{1}{2},=> b=2a$
$a+2a+c=24,=>c=24-3a$
2)Рассмотрим вторую часть задачи
   Пусть $y= a^{3}+ b^{3}+ c^{2}= a^{3}+8 a^{3}+(24-3a)^{2} =$
$=9 a^{3} +576-144a+9 a^{2}=9(a^{3} + a^{2} -16a+64)$
Найдем наименьшее значение данной функции с помощью производной:
$y ^{'} =9(3a^{2}+2a-16)$
Теперь приравняем к 0 и найдем корни
$9(3a^{2}+2a-16)=0, => 3a^{2}+2a-16=0$
$D=4+192=196= 14^{2}$
$a_{1}= frac{-2+14}{6}=2,$ 
$a_{2}= frac{-2-14}{6}<0$  не является корнем, т.к. противоречит условию a>0
$y(2)=9*8+9*4-144*2+576=396$
3) $a=2$
$b=2a=2*2=4$
$c=24-3a=24-3*2=18$
$a+b+c=2+4+18=24$