Question

Найдите наибольшее значение функции $y=(x^{2} +22x-22) e^{2-x}$ на отрезке [0;5].

Answer 1

находим производную:

$y'=(2x+22)*e^{2-x}-(x^2+22x-22)*e^{2-x}=e^{2-x}(-x^2-20x+44)=\\=-e^{2-x}(x^2+20x-44)$

приравниваем производную к нулю, находим критические точки:

$-e^{2-x}(x^2+20x-44)=0\\x^2+20x-44=0\\D=400+176=576=24^2\\x_1=\frac{-20+24}{2} =2\in[0;5]\\x_2=\frac{-20-24}{2} \notin [0;5]$

находим наибольшее значение функции на данном отрезке:

$y(5)=(25+22*5-22)*e^{-3}=113e^{-3}\\y(0)=-22e^{2}\\y(2)=(4+44-22)*e^0=26\\e\approx 2,7\Rightarrow e^{-3}=\frac{1}{2,7^3} \approx \frac{1}{20} \Rightarrow 113e^{-3}\approx \frac{113}{20} <26\\-22e^2<26\\y_{max}[0;5]=y(2)=26$

Ответ: $y_{max}[0;5]=y(2)=26$