Периметр треугольника ABC равен 12. Проведена окружность, касающаяся стороны AB и продолжения сторон AC и BC. К этой окружности проведена касательная, параллельная прямой AB. и пересекающая продолжения сторон AC и BC в точках M и N. Найдите длину AB, если MN равно 3.
Очень срочно надо! Заранее спасибо!)
(20 баллов)
Ответы
Задача про треугольник и окружность
Как всегда, решу обобщённым способом, и задача принимает следующий вид:
Периметр ΔАВС равен p. Проведена окружность, касающаяся стороны АВ и продолжения сторон АС и ВС. К этой окружности проведена касательная, параллельная прямой АВ, и пересекающая продолжения сторон АС и ВС в точках М и N. Найдите длину АВ, если MN равен а.
По свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки к окружности: ME = MT, EN = NP, TA = AS, PB = BS, CP = CT
P (mnc) = MN + CN + CM = ME + EN + NP + PB + BC + MT + TA + AC = 2ME + 2EN + (BS + AS + BC + AC) = 2(ME + EN) + (AB + BC + AC) = 2MN + P (abc)
Значит, P (mnc) = 2MN + P (abc) = 2a + p
MN || AB ⇒ ΔMNC подобен ΔАВС по двум углам, из подобия следует соотношение: P (abc) / P (mnc) = AB/MN
AB = ( P abc / P mnc ) • MN
AB = a•p/(2a + p) = 12•3/(2•3 + 12) = 36/18 = 2
Ответ: 2
