Question

помогите, пожалуйста!!  докажите равенство

Answer 1

//////////////////////////////////////////////////////////////////////

Answer 2

Начнем с числителя
Заметим, что по формуле
$sinfrac{3pi}{2}=-1$. Так как тангенс - функция нечетная, то
$tan(-frac{5pi}{4})=-tan(frac{5pi}{4})$

Значит числитель дроби переделается в вид

$cot(frac{5pi}{4})+sin(frac{3pi}{2})tan(-frac{5pi}{4})=cot(frac{5pi}{4})-tan(-frac{5pi}{4})=$

$=cot(frac{5pi}{4})-tan(-frac{5pi}{4})=cot(frac{5pi}{4})+tan(frac{5pi}{4})$

Заметим, что $frac{5pi}{4}=pi+frac{pi}{4}$ - это угол третьей четверти. Здесь тангенсы и котангенсы положительны. По формулам приведения

$tan(pi+alpha)=tanalpha$

$cot(pi+alpha)=cotalpha$

Числитель равен

$cot(frac{5pi}{4})+tan(frac{5pi}{4})=cot(pi+frac{pi}{4})+tan(pi+frac{pi}{4})=$

$cot(frac{pi}{4})+tan(frac{pi}{4})=1+1=2$

Знаменатель тоже нужно упростить

$cos(frac{11pi}{6})=cos(2pi-frac{pi}{6})$

По формулам приведения

$cos(2pi-alpha)=cosalpha$

$cos(2pi-frac{pi}{6})=cosfrac{pi}{6}=frac{sqrt{3}}{2}$

Используя формулы приведения
$sin(2pi+alpha)=sinalpha$

$sinfrac{11pi}{4}=sin(2pi+frac{3pi}{4})=sin(frac{3pi}{4})=frac{sqrt{2}}{2}$.

Теперь преобразуем знаменатель

$2cosfrac{11pi}{6}+2sin^2frac{11pi}{4}=2*frac{sqrt{3}}{2}+2*(frac{sqrt{2}}{2})^2=sqrt{3}+2*frac{1}{2}=sqrt{3}+1$

Теперь запишем в виде дроби

$frac{2}{sqrt{3}+1}=frac{2*(sqrt{3}-1)}{(sqrt{3}-1)(sqrt{3}+1)}=frac{2*(sqrt{3}-1)}{3-1}=frac{2*(sqrt{3}-1)}{3-1}=sqrt{3}-1$

Ответ: $sqrt{3}-1$