Question

Два угла треугольника,прилежащие к одной стороне,равны 45 градусов и 60 градусов.Найти отношение радиуса описанной окружности у радиусу вписаной окружности.

Answer 1

Пусть наш треугольник $ABC$ , и пусть центр равен  $I$ , обозначим точку касания вписанной окружности как М , тогда $CMI$ прямоугольный треугольник
$CM=p-AB\ CM=r*ctg30\ \ p-AB=r*ctg30\ frac{AB}{2sin60}=R\ p=2sin60*R\ p-sqrt{3}R=r*sqrt{3}\ p=sqrt{3}(r+R)\ S=sqrt{3}(r+R)r\ abc=Rrsqrt{3}(r+R)$
И дальше как то преобразовывать ! Можно решить эту задачу , идея простая , но утомительная в плане вычислений ! 
По теореме синусов подберем стороны треугольников, пропорционально углам 
$frac{AB}{sin60}=frac{AC}{sin75}=frac{BC}{sin45}$
предположим что $AB=3$  , тогда  
$AC= frac{3+sqrt{3}}{sqrt{2}}\ BC=sqrt{6}$
Тогда по формуле $r=1-sqrt{2-sqrt{3}}\ R=frac{2}{sin75}\ frac{frac{2}{sin75}}{1-sqrt{2-sqrt{3}}}=2(sqrt{2}+sqrt{3}-1)$
И это будет всегда как бы константой , то есть постоянной