Question

при яких значеннях а обидва корені рівняння х2-2ах+а2-1=0 менші від числа 2​

Answer 1

$x^2-2ax+a^2-1=0<=>(x-a)^2-1=0<=>(x-a-1)(x-a+1)=0\\x-a-1=0<=>x=a+1\\x-a+1=0<=>x=a-1\\\left \{ {{a+1<2} \atop {a-1<2}} \right. <=>\left \{ {{a<1} \atop {a<3}} \right. =>a<1$

Answer 2

Рассмотрим функцию $f(x)=x^2-2ax+a^2-1$.

Пусть оба корня $x_1,x_2$ нашего уравнения меньшие 2. Поскольку корни существует и различны, то должно выполняться условие $D>0$. Коэффициент перед x² положительный, поэтому функция $y=f(x)$ принимает положительные значения на множестве $(-\infty;x_1)\cup (x_2;+\infty)$; стало быть, если $x_1<2$, то $f(2)>0$. И наконец, вершина параболы $x_0<x_1$ то и подавно $x_0<2$

$\begin{cases}&\text{}D>0\\&\text{}f(2)>0\\&\text{}x_0<2\end{cases}~~\Rightarrow~~\begin{cases}&\text{}4a^2-4(a^2-1)>0\\&\text{}2^2-2a\cdot 2+a^2-1>0\\&\text{}\dfrac{2a}{2\cdot 1}<2\end{cases}~~\Rightarrow~~\begin{cases}&\text{}4>0\\&\text{}a^2-4a+3>0\\&\text{}a<2\end{cases}\\ \\ \\ \Leftrightarrow~~~~\begin{cases}&\text{}a^2-4a+3>0\\&\text{}a<2\end{cases}~~~\Rightarrow~~~\begin{cases}&\text{}a<1;~ a>3\\&\text{}a<2\end{cases}~~~\Rightarrow~~~ \boxed{a<1}$

Ответ: a ∈ (-∞; 1).