Question

(sqrt(5)-2)^(x+1)>=2*(sqrt(5)+2)^(x+1)-1

Answer 1

Ответ:

$x\in \left(-\infty;-1\right]$

Объяснение:

$(\sqrt5-2)^{x+1} \ge 2(\sqrt5+2)^{x+1}-1$

$(\sqrt5-2)^{x+1}-2(\sqrt5+2)^{x+1}+1 \ge 0$

$\left(\frac{1}{\sqrt5+2}\right) ^{x+1}-2(\sqrt5+2)^{x+1}+1 \ge 0$

$\frac{1}{(\sqrt5+2)^{x+1}}-2(\sqrt5+2)^{x+1}+1 \ge 0\ \ \ |\cdot (\sqrt5+2)^{x+1}$

$1-2(\sqrt5+2)^{2(x+1)}+(\sqrt5+2)^{x+1} \ge 0$

$1-2((\sqrt5+2)^{x+1})^2+(\sqrt5+2)^{x+1} \ge 0$

-------------------------

$(\sqrt5+2)^{x+1}=t,\ t>0$

$1-2t^2+t \ge 0$

$-2t^2+t+1 \ge 0$

$D=1^2-4\cdot(-2)\cdot1=1+8=9$

$\sqrt{D}=\sqrt9=3$

$t_1=\frac{-1-3}{2\cdot(-2)}=\frac{-4}{-4}=1$

$t_2=\frac{-1+3}{2\cdot(-2)}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$

$t\in \left[-\frac{1}{2};1\right]$

$t\in \left(0 ;1\right]$

-------------------------

$(\sqrt5+2)^{x+1}\in \left(0 ;1\right]$

$\begin{cases}(\sqrt5+2)^{x+1}>0\\(\sqrt5+2)^{x+1} \le 1 \end{cases}$

$\begin{cases}x\in R\\(\sqrt5+2)^{x+1} \le(\sqrt5+2)^0 \end{cases}$

$\begin{cases}x\in R\\x+1 \le0 \end{cases}$

$\begin{cases}x\in R\\x \le-1 \end{cases}$

$x\in \left(-\infty;-1\right]$