Question

Математика 11 класс (фото)​

Answer 1

Ответ: 125

Пошаговое объяснение:

Поскольку данная прогрессия является арифметической, учтём, что каждый её последующий член больше предыдущего на некоторое число d - разность арифметической прогрессии. Поскольку даны 4 члена, можно утверждать, что разность между 2-м и 3-м членами равна d, а между 1-м и 4-м - 3d, то есть:

$\frac{log_{5}d-log_{5}b}{log_{c}d-log_{c}b}=\frac{3d}{d}=3$

Поскольку основания логарифмов в числителе одинаковы, можно упростить выражение (аналогично и в знаменателе) к виду:

$\frac{log_{5}\frac{d}{b}}{log_{c}\frac{d}{b}}=3$

Используя свойство логарифма, можно ещё раз упростить данное выражение:

$log_{5}c=3\\c=5^{3}$

Таким образом, получим минимальное значение $c=5^3=125$.

Проверим: исходные числа a, b, c, d равны $a=5; b=5^{\frac{1}{3}}; c=5^3; d=5^{-\frac{1}{3}}$.

Члены арифметической прогрессии соответственно равны:

$log_{a}b=log_{5}(5^{\frac{1}{3}})=\frac{1}{3}\\log_{c}b=log_{5^3}(5^{\frac{1}{3}})=\frac{1}{9}\\log_{c}d=log_{5^3}(5^{(-\frac{1}{3})})=-\frac{1}{9}\\log_{a}d=log_{5}(5^{(-\frac{1}{3})})=-\frac{1}{3}$

Данные числа образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=-\frac{2}{9}$.