Question

Найдите все положительные значения n, чтобы n^4 - 1 делилось на 5. Очень нужно.

Answer 1

Ответ:

$n^4-1=(n^2)^2-1^2=(n^2-1)*(n^2+1)=(n-1)*(n+1)*(n^2+1)$

При n = 5k + 1 первая скобка примет вид 5k, значит и всё выражение будет кратно 5.

При n = 5k + 2 последняя скобка примет вид $(5k+2)^2+1=25k^2+2*5k*2+4+1=25k^2+20k+5=5*(5k^2+4k+1)$ и следовательно, тоже будет делиться на 5.

При n = 5k + 3 последняя скобка примет вид $(5k+3)^2+1=25k^2+2*5k*3+9+1=25k^2+30k+10=5*(5k^2+6k+2)$ и следовательно, тоже будет делиться на 5.

При n = 5k + 4 вторая скобка примет вид 5k + 5 = 5 * (k + 1) и следовательно, тоже будет делиться на 5.

Однако если n кратно 5, ни одно из вышеперечисленных условий выполняться не будет, и число не будет кратно 5. Таким образом, исходное выражение делится на 5 при любых положительных значениях, не кратных 5.