Question

Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АР=34, а сторона ВС в 2 раза меньше стороны АВ.​

Answer 1

Пусть BC = x , тогда AB = 2x.

Рассмотрим четырехугольник BCKP: четырехугольник вписан в окружность ⇒ сумма противоположных углов четырехугольника равны 180°.

$\angle CPK+\angle CBK =180^\circ$, но углы APK и CPK смежные, значит $\angle APK+\angle CPK=180^\circ$ отсюда $\angle CBK=\angle APK$

У треугольников ABC и APK угол А - общий и ∠CBK = ∠APK. Следовательно, ΔABC ~ ΔAPK по двум углам. Из подобия треугольников следует отношения:

$\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{KP}{AP}~~~~\Rightarrow~~~\dfrac{x}{2x}=\dfrac{KP}{34}\\ \\ \\ KP=17$

Ответ: 17.