Question

Помогите решить пожалуйста ! Даю 35 балов!

Answer 1

Мы видим показательное уравнение, а именно сумму 2 показательных функций с разными основаниями. Приведём к одному основанию:

$\sqrt{5 + \sqrt{24} } = \sqrt{5 + 2 \sqrt{6} } = \sqrt{ { (\sqrt{2} + \sqrt{3}) }^{2} } = |\sqrt{2} + \sqrt{3} | = \sqrt{2} + \sqrt{3}$

$\sqrt{5 - \sqrt{26} } = \sqrt{5 - 2 \sqrt{6} } = \sqrt{ {( \sqrt{2} - \sqrt{3}) }^{2} } = | \sqrt{2} - \sqrt{3} | = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Выразим √3 - √2 через √2 + √3:

$\sqrt{3} - \sqrt{2} = \frac{ (\sqrt{3} - \sqrt{2})( \sqrt{3} + \sqrt{2}) }{ \sqrt{3} + \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{3} + \sqrt{2} } = ( \sqrt{3} + \sqrt{2} )^{ - 1}$

Подставляем:

$( \sqrt{3} + \sqrt{2} )^{x} + ( \sqrt{3} + \sqrt{2} )^{ - x} = 10$

Делаем замену: (√3 + √2)^х = t, t > 0:

$t + {t}^{ - 1} = 10 \\ t + \frac{1}{t} - 10 = 0 \\ \frac{ {t}^{2} - 10t + 1}{t} = 0 \\ {t}^{2} - 10t + 1 = 0 \\ d = {10}^{2} - 4 = 96\\ t_{1} = \frac{10 + \sqrt{96} }{2} = 5 + 2\sqrt{6} \\ t_{2} = \frac{10 - \sqrt{96} }{2} = 5 - 2 \sqrt{6}$

Все корни входят в область допустимых значений, поэтому пишем обратную замену:

$( \sqrt{3} + \sqrt{2} )^{x} = 5 + 2 \sqrt{6} \\ x_{1} = log_{ \sqrt{3} + \sqrt{2} }(5 + 2 \sqrt{6} )$

$( \sqrt{3} + \sqrt{2} )^{x} = 5 - 2 \sqrt{6} \\ x_{2} = log_{ \sqrt{3} + \sqrt{2} }(5 - 2 \sqrt{6} )$

Эти корни и являются решением уравнения.