Question

СРОЧНО

НУЖЕН ОТВЕТ

......

Answer 1

$\bigg(a + \dfrac{1}{b}\bigg) \cdot \bigg(b + \dfrac{1}{a}\bigg) \geqslant 4$

$a > 0, \ b > 0$

$\bigg(\dfrac{ab+1}{b} \bigg) \cdot \bigg(\dfrac{ab+1}{a}\bigg) \geqslant 4$

$\dfrac{(ab+1)^{2}}{ab} \geqslant 4$

Замена (необязательно): $ab = t, \ t > 0$

$\dfrac{(t+1)^{2}}{t} \geqslant 4$

$\dfrac{(t+1)^{2}}{t} - 4 \geqslant 0\\\dfrac{(t+1)^{2} - 4t}{t} \geqslant 0\\\dfrac{t^{2} + 2t + 1 - 4t}{t} \geqslant 0\\\dfrac{t^{2} - 2t + 1}{t} \geqslant 0\\\dfrac{(t-1)^{2}}{t} \geqslant 0$

Обратная замена: $\dfrac{(ab-1)^{2}}{ab} \geqslant 0$

Так как $a > 0, \ b > 0$, то данное неравенство истинно всегда.

Ответ: $a > 0, \ b > 0$