Question

Докажите, что числа a³ и b³ имеют одинаковый остаток при делении на a - b.

Учтите:

a³ ≡ m (mod a - b) ⇔ a³ = q1 * (a - b) + m ⇔ a³ / (a - b) = q1 + m / (a - b)

b³ ≡ m (mod a - b) ⇔ b³ = q2 * (a - b) + m ⇔ b³ / (a - b) = q2 + m / (a - b)

Answer 1

Если $\frac{a^{3}}{(a-b)}$ и $\frac{b^{3}}{(a-b)}$ имеют одинаковый остаток m, то дробная часть результата деления равна  $\frac{m}{(a-b)}$, и их разность будет целым числом.

Но их разность равна $\frac{a^{3}}{(a-b)}-\frac{b^{3}}{(a-b)}$ = $\frac{a^{3}-b^{3}}{(a-b)}$ = $\frac{(a-b)*(a^{2}+ab+b^{2})}{(a-b)}$ = $a^{2}+ab+b^{2}$

что является целым числом, следовательно, остаток одинаковый.