Question

Установить,какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости
1)3x-y-3z-5=0. x+9-3z+2=0
2)2x+3y-z-3=0. x-y-z+3+2=0
3)2x-5y+z=0. x+27-3=0​

Answer 1

У перпендикулярных плоскостей нормальные векторы ортогональны, а скалярное произведение ортогональных векторов равно 0 .

$1)\; \; \pi _1:\; \; 3x-y-3x-5=0\; \; ,\; \; \pi _2:\; \; x+9y-3z+2=0\\\\\vec{n}_1=(3,-1,-3)\; \; ,\; \; \vec{n}_2=(1,9,-3)\\\\\vec{n}_1\cdot \vec{n}_2=3\cdot 1-1\cdot 9-3\cdot (-3)=3\ne 0\; \; \Rightarrow \; \; \pi _1\; \; \underline {ne}\; \perp \; \pi _2\\\\\\2)\; \; \pi _1:\; 2x+3y-z-3=0\; \; ,\; \; \pi _2:\; x-y-z+5=0\\\\\vec{n}_1=(2,3,-1)\; \; ,\; \; \vec{n}_2=(1,-1,-1)\\\\\vec{n}_1\cdot \vec{n}_2=2-3+1=0\; \; \Rightarrow \; \; \; \boxed {\; \pi _1\perp \pi _2\; }$

$3)\; \; \pi _1:\; 2x-5y+z=0\; \; ,\; \; \pi _2:\; x+27-3=0\; ,\; \; x+24=0\\\\\vec{n}_1=(2,-5,1)\; \; ,\; \; \vec{n}_2=(1,0,0)\\\\\vec{n}_1\cdot \vec{n}_2=2\ne 0\; \; \Rightarrow \; \; \; \pi _1\; \underline {ne}\; \perp \; \pi _2$