Question

Числа n+1 и 2n+1 являются точными квадратами .Докажите, что n кратно 24

Answer 1

$2n+1=a^2=>2n=(a-1)(a+1)$

Т.к. $a^2$ нечетно, то и $a$ нечетно, а значит $(a-1)$ и $(a+1)$ четные. Пусть $a-1=2k=>2n=2k(2k+2)=>n=2k(k+1)$

Из двух последовательных натуральных чисел одно кратно 2. Значит n кратно 4.

$n+1=b^2=>n=b^2-1=(b-1)(b+1)$

Четность $(b-1)$ и $(b+1)$ одинакова. А значит они оба четные. Пусть $b-1=2l=>b+1=2l+2=>n=2l(2l+2)=4l(l+1)$

Из двух последовательных натуральных чисел одно кратно 2. Значит n кратно 8.

1. l дает остаток 1 при делении на 3. Тогда n дает остаток 2 при делении на 3. Тогда 2n+1 дает остаток 2 при делении на 3. Но 2n+1 - точный квадрат, а точные квадраты либо кратны 3, либо дают остаток 1 при делении на 3. Противоречие
2. l дает остаток 2 при делении на 3. Тогда n дает остаток 0 при делении на 3.
3. l дает остаток 0 при делении на 3. Тогда n дает остаток 0 при делении на 3.

А значит n кратно 3.

Тогда n кратно 3*8=24