Прошу помощи, спасибо
Ответы
Ответ на задачу № 2. (Думаю, что это самая сложная).
Даны координаты пирамиды: A(-2,3,-8), B(-3,-1,-5), C(-3,1,-6), D(-3,-1,4)
1) Координаты векторов.
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора AB.
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = -3-(-2); Y = -1-3; Z = -5-(-8)
AB(-1;-4;3)
AC(-1;-2;2)
AD (-1;-4;12)
BC(0;2;-1)
BD(0;0;9)
CD(0;-2;10)
2) Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
|a| = √(X² + Y² + Z²).
|AB|= √(1^2+4^2+3^2 )=√26≈5,099.
|AC|= √(1^2+2^2+2^2 )=√9=3.
|AD|= √(1^2+4^2+〖12〗^2 )=√161≈12,689.
|BC|= √(0^2+2^2+1^2 )=√5≈2,236.
|BD|= √(0^2+0^2+9^2 )=√81=999.
|CD|= √(0^2+2^2+10^2 )=√104≈10,198.
3) Угол между ребрами.
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:
cos γ = (a1a2)/(|a1|•|a2|).
где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2.
Найдем угол между ребрами AB(-1;-4;3) и AC(-1;-2;2):
cos γ = ((-1)•(-1) + (-4)•(-2) + 3•2)/(√26•3) = 0,981.
γ = arccos(0,981) = 11,31°.
4) Площадь грани.
Площадь грани можно найти по формуле:
S = 12•|a|•|b| sin γ.
где: sin(γ)=√(1-cos(γ)²)
Найдем площадь грани ABC
Найдем угол между ребрами AB(-1;-4;3) и AC(-1;-2;2):
cos γ = ((-1)•(-1) + (-4)•(-2) + 3•2)/(√26•3) = 0,981.
sin γ = √(1 - 0.981²) = 0,196.
Площадь грани ABC.
SABC = (1/2) |AB|*|AC|*sinγ = (1/2)*√26*3*0,196=1,5 кв.ед.
Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
S = (1/2)*|(AB) ⃗*(AC) ⃗|
Векторное произведение:
i j k
-1 -4 3
-1 -2 2 =
=i((-4)•2-(-2)•3) - j((-1)•2-(-1)•3) + k((-1)•(-2)-(-1)•(-4)) = -2i - j - 2k
S=(1/2)|(AB) ⃗*(AC) ⃗|=1/2|-2i-j-2k|=1/2 √(2^2+1^2+2^2 )=(1/2) √9=1,5 кв.ед.
5) Объем пирамиды.
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:
V = (1/6)* X1 Y1 Z1
X2 Y2 Z2
X3 Y3 Z3
V = (1/6)* -1 -4 3
-1 -2 2
-1- 4 12 = 18/6 = 3.
где определитель матрицы равен:
∆ = (-1)*((-2)*12-(-4)*2)-(-1)*((-4)*12-(-4)*3)+(-1)*((-4)*2-(-2)*3) = -18
7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:
(x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1) = (z - z1)/(z2 - z1).
Параметрическое уравнение прямой:
x=x0+lt
y=y0+mt
z=z0+nt
Уравнение прямой AB(-1,-4,3)
(x + 2/-1 = (y - )/-4 = (z + 8)/3
Параметрическое уравнение прямой:
x=-2-t
y=3-4t
z=-8+3t
Уравнение прямой AD(-1,-4,12)
(x + 2)/-1 = (y - 3)/-4 = (z + 8)/12.
Параметрическое уравнение прямой:
x=-2-t
y=3-4t
z=-8+12t
8) Уравнение плоскости.
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
x-x1 y-y1 z-z1
x2-x1 y2-y1 z2-z1
x3-x1 y3-y1 z3-z1 = 0
Уравнение плоскости ABC
x+2 y-3 z+8
-1 -4 3
-1 -2 2 = 0
(x+2)((-4)•2-(-2)•3) - (y-3)((-1)•2-(-1)•3) + (z+8)((-1)•(-2)-(-1)•(-4)) =
= -2x - y - 2z - 17 = 0
10) Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины D(-3,-1,4).
Расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:
d = |A x1 + B y1 + C z1 + D|/√(A² + B² + C²).
Уравнение плоскости ABC: -2x - y - 2z-17 = 0
d = |(-2)•(-3) + (-1)•(-1) + (-2)•4 - 17|/√(2² + 1² + 2²) = 18/√9 = 6.
11) Уравнение высоты пирамиды через вершину D(-3,-1,4).
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости ABC: -2x - y - 2z - 17 = 0
(x - x0)/A = ( - )/B = (z - z0)/C
(x - (-3))/-2 = (y - (-1))/-1 = (z - 4)/-2
12) Угол между прямой AD и плоскостью ABC.
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:
sin γ = |Al + Bm + Cn|/√(A² + B² + C²)*√(l² + m² + n²).
Уравнение плоскости ABC: -2x - y - 2z - 17 = 0
Уравнение прямой AD:
(x + 2)/-1 = (y - 3)/-4 = (z + )/12
sin γ = |(-2)•(-1) + (-1)•(-4) + (-2)•12|22 + 12 + 2212 + 42 + 122 = 0.473
γ = arcsin(0,473) = 28,23°.