Question

100 б + лучший ответ! Решить задание (связано с производной):

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$\\ y=x+{1\over\pi}\arccos{y}\\ y'=1-{1\over\pi}{y'\over\sqrt{1-y^2}}\\ y'={\pi\sqrt{1-y^2}\over\pi\sqrt{1-y^2}+1}$

Уравнение касательной

$\LARGE y=y_0+{\pi\sqrt{1-y_0^2}\over\pi\sqrt{1-y_0^2}+1}(x-x_0)$

Уравнение нормали

$\LARGE y=y0-{(\pi\sqrt{1-y_0^2}+1)(x-x_0)\over\pi\sqrt{1-y_0^2}}$

Answer 2

Ответ: y-y0=[π*√(1-y0²)]/[1+π*√(1-y0²)]*(x-x0), y-y0=-[1+π*√(1-y0²)]/[π*√(1-y0²)]*(x-x0).

Объяснение:

Уравнение касательной к кривой y=f(x), проходящей через точку M0(x0; y0), имеет вид  y-y0=f'(x0)*(x-x0). В данном случае составим функцию F(x,y)=y-x-1/π*arccos(y)=0. Так как эта функция равна нулю при любых значениях x и y, то есть не изменяется, то её полный дифференциал равен нулю. Но dF=dF/dx*dx+dF/dy*dy, где dF/dx и dF/dy - частные производные функции F(x,y) соответственно по x и по y. Найдём их: dF/dx=-1, dF/dy=1+1/[π*√(1-y²)] Из равенства dF=0 следует равенство dF/dy*dy=-dF/dx*dx, а из него - равенство dy/dx=y'(x)=-(dF/dx)/(dF/dy). В нашем случае dy/dx=[π*√(1-y²)]/[1+π*√(1-y²)]. Поэтому f'(x0)=[π*√(1-y0²)]/[1+π*√(1-y0²)], где y0 определяется из трансцендентного уравнения y0=x0+1/π*arccos(y0). Тогда уравнение касательной принимает вид y-y0=[π*√(1-y0²)]/[1+π*√(1-y0²)]*(x-x0). А так нормаль перпендикулярна касательной, то её  уравнение имеет вид y-y0=-1/f'(x0)*(x-x0), и в нашем случае это уравнение принимает вид y-y0=-[1+π*√(1-y0²)]/[π*√(1-y0²)]*(x-x0).