Question

найти сумму геометрической последовательности
(2/3)0+(2/3)1+(2/3)2+...+(2/3)n

Answer 1

Ответ:

$S=3-2(\frac{2}{3})^{n}$

Пошаговое объяснение:

S=(2/3)⁰+(2/3)¹+(2/3)²+...+(2/3)ⁿ=1+(2/3)¹+(2/3)²+...+(2/3)ⁿ

S=1+Sn, где Sn сумма n членов геометрической прогрессии с b₁=2/3 и q=2/3, bn=(2/3)ⁿ, т.е. Sn=(2/3)¹+(2/3)²+...+(2/3)ⁿ.

Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии

$Sn=\frac{b_{1}-b_{n}q}{1-q}=$

$=\frac{\frac{2}{3} -(\frac{2}{3})^{n} \frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}=$

$=\frac{2-2(\frac{2}{3})^{n}}{1}=$

$=2-2(\frac{2}{3})^{n}$

Тогда

$S=3-2(\frac{2}{3})^{n}$