Question

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 12 и сумма трех первых членов прогрессий равна 10,5. Найти первый член и знаменатель.

Answer 1

Пусть b₁ первый член убывающей геометрической прогресси. А q - разность прогрессии. Тогда:

$\dfrac{b_1}{1-q} =12$

Второй член - qb₁; третий - q²b₁

$b_1+qb_1 +q^2b_1=10,\! 5$

Выразим из двух уравнений b₁ , приравняем и вычислим q.

$\displaystyle b_1 =12(1-q)\\ b_1(1+q+q^2)=10,\! 5\\ b_1 =\frac{10,\!5}{1+q+q^2}$

То есть

$\displaystyle 12-12q=\frac{10,\! 5}{1+q+q^2} \\ 12+12q+12q^2-12q-12q^2-12q^3=10,\! 5\\ 12q^3=\frac32\\ q^3=\frac3{3\cdot 4\cdot 2} =\frac1{2^3} \\ q=\frac12$

Найдём b₁

$\displaystyle \frac{b_1}{1-q} =\frac{b_1}{1-\frac12 }=2b_1=12\\ b_1=12\div2=6$

Ответ: первый член 6, разность 0,5.