Question

Буровая установка приводится в движение двумя большими, зацепленными друг за друга зубчатыми колёсами на неподвижных осях, имеющими форму тонких обручей радиусов R1 и R2. Массы колёс - m1 и m2 соответственно, причём массой, сосредоточенной в спицах и осях колёс можно пренебречь. Чтобы раскрутить колёса (без приведения в движение других частей установки) пришлось совершить работу A. Найдите угловую скорость ω вращения первого колеса.

Дайте ответ для R1 = 1.0 м, R2 = 4.0 м, m1 = 320.0 кг, m2 = 800.0 кг, A = 30.0 кДж в 1/с с точностью до десятых

Answer 1

Ответ:

ω₁ = 7,3 рад/с

Объяснение:

Дано:

R₁ = 1,0 м

R₂ = 4,0 м

m₁ = 320 кг

m₂ = 800 кг

A = 30 кДж = 30 000 Дж

___________

ω₁ - ?

1)

Поскольку колеса находятся в зацеплении, то линейная скорость точки А равна

V = V₁ = V₂

V₁ = ω₁·R₁             (1)

V₂ = ω₂·R₂           (2)

Приравняем (2) и (1)

ω₂·R₂ =  ω₁·R₁

ω₂ =  ω₁·(R₁/R₂) = (1,0/4,0)·ω₁ =  0,25·ω₁

2)

Считаем зубчатые колеса тонкими обручами найдем их моменты инерции:

J₁ = m₁·R₁² = 320·1² = 320 кг·м²

J₂ = m₂·R₂² = 800·4² = 12 800 кг·м²

3)

Кинетические энергии колес:

T₁ = J₁·ω₁²/2 = 320·ω₁²/2 = 160·ω₁²

T₂ = J₂·ω₂²/2 = 12 800·(0,25·ω₁)² /2 = 400·ω₁²

Суммарная кинетическая энергия:

T = T₁+T₂ = 160·ω₁² +  400·ω₁² = 560·ω₁²

4)

По закону сохранения энергии:

T = A

560·ω₁² = 30 000

ω₁ = √ (30 000 / 560) ≈ 7,3 рад/с