Question

вершины пирамиды заданы координатами: A(4, 4, -10) ; B(4, 10, 2) ; C(2, 8, 4) ; D(9, 6, 4) найти:
1) угол между векторами DB и DC
2) найти площадь паралелограмма, построенного на векторах DA и DB
3) найти обьем пирамиды АВСD
Спасибо!

Answer 1

$A(4,4,-10)\; ,\; B(4,10,2)\; ,\; C(2,8,4)\; ,\; D(9,6,4)\\\\1)\; \; \vec{b}=\overline {DB}=(-5,4,-2)\; \; ,\; \; \vec{c}=\overline {DC}=(-7,2,0)\\\\cos\varphi =\frac{\vec{b}\, \cdot \, \vec{c}}{|\vec{b}|\cdot |\vec{c}|}=\frac{35+8+0}{\sqrt{25+16+4}\cdot \sqrt{49+4+0}}=\frac{43}{\sqrt{45}\cdot \sqrt{53}}=\frac{43}{\sqrt{2385}}=\\\\\varphi =arccos\frac{43}{\sqrt{2385}}\\\\\\2)\; \; \vec{a}=\overline {DA}=(-5,-2,-14)$

$[\vec{a}\times \vec{b}]=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\-5&-2&-14\\-5&4&-2\end{array}\right|=60\vec{i}+60\vec{j}-30\vec{k}\\\\\\\Big |[\vec{a}\times \vec{b}]\Big |=\sqrt{60^2+60^2+30^2}=\sqrt{8100}=90\\\\S=90$

$3)\; \; (\vec{a},\vec{b},\vec{c})=\left|\begin{array}{ccc}-5&-2&-14\\-5&4&-2\\-7&2&0\end{array}\right|=-5\cdot 4+2\cdot (-14)-14\cdot 18=-300\\\\\\V=\frac{1}{6}\cdot |-300|=\frac{1}{6}\cdot 300=50$