На сторонах AB, BC, CD, DA параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M, N, K, L, делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что при пересечении прямых AN, BK, CL и DM получится параллелограмм, причём его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.
решите с рисунком
Ответы
Ответ:
Доказательство в объяснении.
Объяснение:
1. Треугольники АМD и CKB равны по двум сторонам и углу между ними (AD = BC - противоположные стороны параллелограмма,
AM = CK - равные части (дано) равных отрезков (АВ = CD),
∠А = ∠С - противоположные углы параллелограмма). =>
∠AMD = ∠CKB (соответственные углы равных треугольников),
∠CKB = ∠ABК (внутренние накрест лежащие углы при параллельных AВ и CD и секущей BK). => ∠AMD = ∠ABF (соответственные углы при прямых ВК и MD и секущей АВ) => BK ‖ MD.
Так же и с треугольниками ABN и СDL => AN ‖ CL.
Итак, четырехугольник EFGH - параллелограмм по признаку: противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны.
Что и требовалось доказать.
2. Из равенства треугольников BFN и DHL (по стороне BN=DL и прилежащим углам - доказано выше) имеем: BF = DH, => FK = MH. => MFKH - параллелограмм и его диагональ FH проходит через середину диагонали MK. Но MK и AC — диагонали параллелограмма AMCK и делятся пополам в точке пересечения. Значит отрезок FH проходит через середину AC, точку О. Так же как и отрезок EG (доказывается аналогично).
Что и требовалось доказать.
