Question

Помогите найти точку минимума с подробным решением, пожалуйста

Answer 1

Ответ: Точка {9; 43}

Объяснение:

Чтобы найти точку минимума (ровно как и максимума) функции, необходимо взять производную от этой функции и приравнять ее к нулю. Сделаем это:

$y'=(\frac{162}{x}+2x+7)'=-\frac{162}{x^2}+2=\frac{-162+2x^2}{x^2}$

$\frac{-162+2x^2}{x^2}=0\\2x^2-162=0\\x^2=81\\x_{1}=-9\\x_{2}=9$

Мы получили две точки. Теперь нужно определиться, которая из них - точка минимума.

Для этого нарисуем на бумажке числовую прямую и отметим на ней получившиеся точки $-9$ и $9$.

Получим три промежутка:

• $(-\infty;-9)$
• $[-9;9]$
• $(9;+\infty)$

Теперь для каждого из этих промежутков выберем какое-нибудь число и подставим его в производную, чтобы определить ее знак. Получим, что производная:

• положительна на $(-\infty;-9)$
• отрицательна на $[-9;0]$
• положительна на $(9;+\infty)$

Когда производная положительна на промежутке, функция возрастает, когда производная отрицательна - функция убывает.

Зарисовав соответствующие стрелочки под числовой прямой, получается, что функция имеет точку минимума в точке $x=9$.

Осталось подставить ее в исходную функцию для нахождения $y$-координаты точки.

$\frac{162}{x}+2x+7=\frac{162}{9}+2\cdot9+7=43$

ОТВЕТ: 9;43