Question

Найти производную по определению (через предел, приращение и т. д.):

$y=3\cdot log_2(6x+1)$

Answer 1

$\displaystyle y'(x_0)=\lim_{зx \to 0}\dfrac{y(x_0+зx)-y(x_0)}{зx}=\\ \\ \\ =\lim_{зx \to 0}\dfrac{3\Big(\log_2(6x_0+6зx+1)-\log_2(6x_0+1)\Big)}{зx}=\\ \\ \\ =\lim_{зx \to 0}\frac{3\log_2\frac{6x_0+6зx+1}{6x_0+1}}{зx}=\lim_{зx \to 0}\frac{3\log_2\left(1+\frac{6зx}{6x_0+1}\right)}{зx}=\\ \\ \\ =3\lim_{зx \to 0}\frac{\log_2\left(1+\frac{6зx}{6x_0+1}\right)}{\frac{6зx}{6x_0+1}\cdot\frac{6x_0+1}{6}}=3\cdot\frac{1}{\ln 2}\cdot \frac{6}{6x_0+1}=\frac{18}{(6x_0+1)\ln2}$

Приняв $x_0=x$, получим $y'(x)=\frac{18}{(6x+1)\ln2}$