Question

(Даю 100 баллов) Найдите промежутки возрастания и убывания функции :

f(x)= sinx

f(x)= cosx

f(x)= tgx

f(x)= sin2x+cos2x

Решите хоть один, пожалуйста! Или хотя бы объясните, как делать!! Заранее спасибо)

P.S. : там вроде нужно использовать производные

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

попытаюсь объяснить. в целом алгоритм простой. легче всего, конечно, построить график и посмотреть где функция убывает, а где возрастает. Но если такой способ не подходит, то надо искать производную. В первом примере производная от синуса равна косинусу. Приравняем получившуюся производную к нулю (f'(x)=cosx=0). То есть х=π/2+πn, где n∈Z.  Именно при таких х производная равна 0, то есть функция f(x) меняет свою монотонность. Если производная меньше нуля, то функция убывает, если больше, то она возрастает. Для этого надо подставить какие нибудь значения справа и слева от точек x=π/2+πn. Получаем что слева функция возрастает, а справа убывает. То есть функция возрастает от -π/2+πn, до π/2+πn, а убывает от π/2+πn до 3π/2+πn, где n∈Z.

Аналогично решим и другие. (надеюсь что теорию вы поняли, поэтому не буду расписывать)

2) Производная от косинуса равна   минус синусу. Синус равен нулю в точках πn, где n∈Z. Так как при π/2 -sin(π/2) <0, то на промежутке от 0+πn до π+πn, где n ∈Z, функция убывает (так как точка π/2 лежит на таком промежутке при n=0 ), значит на интервале от -π+πn до 0+πn функция возрастает.

3) производная от тангенса равна 1/((cos x)^2).  То есть при любых х производная больше 0. Это значит что функция возрастает на всей области определения.

4) производная от данной функции равна f'(x)=2cos(2x)-2sin(2x). Производная равна нулю при x=π/8+2πn и x=5π/8+2πn, где n∈Z. Решив аналогично предыдущим примерам, получим, что функция убывает на интервале [π/8+2πn; 5π/8+2πn]  и возрастает на интервале [5π/8+2πn; 9π/8+2πn] где n∈Z.