Question

сумма трех целых чисел делится на 6 доказать что и сумма кубов этих чисел делится на 6

Answer 1

$frac{x+y+z}{6}=A\ frac{x^3+y^3+z^3}{6}=B\ (x+y+z)^3=(6A)^3\ x^3+y^3+z^3+3(y+x)(z+x)(z+y)=(6A)^3$
сделаем замену , так как сказано что $x^3+y^3+z^3$ уже делиться на 6 , то достаточно доказать что выражение $3(y+x)(z+x)(z+y)$ тоже делится на 6 
$x+y+z=6A\ x+y=6A-z\ z+x=6A-y\ z+y=6A-x\ 3(6A-z)(6A-y)(6A-x)=36A^2z+6Axz+6Ayz-xyz+6Axy-36A^2y-36A^2x+216A^3$
везде присутствует множитель 6 , но xyz делитья на 6 , так как произведение делиться на 6