Question

√x + √x+7 + 2√x²+7x = 35-2x
(Если не понятно - 4) номер в прикреплённой фотографии)

Answer 1

$\sqrt{x} +\sqrt{x+7}+2\sqrt{x^{2}+7x}=35-2x\\\\\sqrt{x}+\sqrt{x+7}=m,m\geq0 \\\\m^{2}=x+2\sqrt{x^{2}+7x}+x+7\\\\2\sqrt{x^{2}+7x }=m^{2}-2x-7\\\\m+m^{2}-2x-7=35-2x\\\\m^{2}+m-42=0\\\\D=1^{2}-4*(-42)=1+168=169=13^{2}\\\\m_{1}=\frac{-1+13}{2}=6\\\\m_{2}=\frac{-1-13}{2}=-7<0-neyd$

$\sqrt{x}+\sqrt{x+7}=6\\\\(\sqrt{x}+\sqrt{x+7})^{2}=6^{2} \\\\x+2\sqrt{x^{2}+7x }+x+7=36\\\\2\sqrt{x^{2}+7x}=29-2x\\\\(2\sqrt{x^{2}+7x})^{2}=(29-2x)^{2}\\\\4(x^{2}+7x)=841-116x+4x^{2}\\\\4x^{2} +28x=841-116x+4x^{2}\\\\28x+116x=841\\\\144x=841\\\\x=5\frac{121}{144}$

Проверкой убеждаемся, что ответ подходит.

Answer 2

$\sqrt{x}+\sqrt{x+7}+2\sqrt{x^2+7x}=35-2x\\ \\ \sqrt{x}+\sqrt{x+7}+2\sqrt{x^2+7x}=5(x+7)-7x\\ \\ \sqrt{x}+\sqrt{x+7}+2\sqrt{x}\sqrt{x+7}-5(x+7)+7x=0$

В левой части уравнения можно разложить на множители выражение

$\Big(\sqrt{x}+\sqrt{x+7}\Big)-\Big(5(\sqrt{x+7})^2-2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x+7}-7(\sqrt{x})^2\Big)=0\\ \\ \Big(\sqrt{x}+\sqrt{x+7}\Big)-\Big(5(\sqrt{x+7})^2+5\sqrt{x}\sqrt{x+7}-7\sqrt{x}\sqrt{x+7}-7(\sqrt{x})^2\Big)=0\\ \\ \Big(\sqrt{x}+\sqrt{x+7}\Big)-\Big(5\sqrt{x+7}(\sqrt{x+7}+\sqrt{x})-7\sqrt{x}(\sqrt{x+7}+\sqrt{x})\Big)=0\\ \\\Big(\sqrt{x}+\sqrt{x+7}\Big)-\Big(\sqrt{x+7}+\sqrt{x}\Big)\Big(5\sqrt{x+7}-7\sqrt{x}\Big)=0\\ \\ \Big(\sqrt{x}+\sqrt{x+7}\Big)\Big(1-5\sqrt{x+7}+7\sqrt{x}\Big)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда один из множителей обращается к нулю

$\sqrt{x}+\sqrt{x+7}=0$

Это уравнение решений не имеет, поскольку левая часть уравнения на области допустимых значений принимает положительные значения.

$1-5\sqrt{x+7}+7\sqrt{x}=0\\ \\ 5\sqrt{x+7}-1=7\sqrt{x}$

Возводим обе части уравнения до квадрата.

$\Big(5\sqrt{x+7}-1\Big)^2=\Big(7\sqrt{x}\Big)^2\\ \\ 25(x+7)-10\sqrt{x+7}+1=49x\\ \\ 10\sqrt{x+7}=176-24x|:2\\ \\ 5\sqrt{x+7}=88-12x$

При условии $176-24x\geq 0$ возводим обе части уравнения в квадрат

$25(x+7)=(88-12x)^2\\ \\ 25x+175=7744-2112x+144x^2\\ \\ 144x^2-2137x+7569=0\\ \\ D=(-2137)^2-4\cdot 144\cdot 7569=207025;~~\sqrt{D}=455\\ \\ x_1=\dfrac{2137+455}{2\cdot 144}=9\\ \\ x_2=\dfrac{2137-455}{2\cdot144}=\dfrac{841}{144}$

корень x = 9 не удовлетворяет условию 176 - 24x ≥ 0.

Ответ: $\dfrac{841}{144}$