Question

Найдите предел $\lim_{n \to \infty} \frac{1+2+3+...+n}{\sqrt{9n^{4}+ 1 } }$

Answer 1

В числителе дроби это арифметическая прогрессия с первым членом a1 = 1 и разностью прогрессии d = 1 ее сумма $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\dfrac{1+n}{2}\cdot n=\dfrac{n^2+n}{2}$

Подсчитаем предел.

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{1+2+3+...+n}{\sqrt{9n^4+1}}=\lim_{n \to \infty}\frac{n^2+n}{2\sqrt{9n^4+1}}=\lim_{n \to \infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{2\sqrt{9+\frac{1}{n^4}}}=\\ \\ \\ =\frac{1+0}{2\cdot \sqrt{9+0}}=\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{6}$

Ответ: 1/6