Question

Знайдіть найменшу відстань між графіками функцій y=x^2 і y=2x-4

Answer 1

Пусть функция $r(x)$ это расстояние между параболой $y=x^2$ и $y=2x-4$. За аргумент этой функции принимаем абсциссу точки $M(x;x^2)$, которая принадлежит параболе.

Расстояние от точки М до прямой y = 2x - 4 или 2x - y - 4 = 0

$r(x)=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\dfrac{|2\cdot x-1\cdot x^2-4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\dfrac{|2x-x^2-4|}{\sqrt{5}}$ — функция расстояния между параболой и прямой, зависящей от абсциссы точки параболы

$r'(x)=\left(\dfrac{|2x-x^2-4|}{\sqrt{5}}\right)'=\dfrac{1}{\sqrt{5}}|2-2x|$

откуда x = 1 - критическая точка.

Проверим выполнение достаточного условия экстремума

$r''(x)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}|2-2x|\right)'=\dfrac{2}{\sqrt{5}}>0$ для всех x ∈ R.

В частности $r''(1)=\dfrac{2}{\sqrt{5}}>0$. Следовательно, функция r(x) достигает минимума в точке x = 1/2:

$\min r(x)=r(1)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot \left|2\cdot 1-1^2-4\right|=\dfrac{3}{\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$