Question

[50 баллов]

Решить систему уравнений:


${x}^{3} + {y}^{3} = 19 \\ {x}^{2} + xy = - 6$

Answer 1

Преобразуем первое уравнение: разложим на множители

$(x+y)(x^2-xy+y^2)=19\\ (x+y)\Big((x+y)^2-3xy\Big)=19$

Из второго уравнения понятно что xy = -6 - x² и $x(x+y)=-6$ откуда $x+y=-\dfrac{6}{x}$. Подставляем все это в преобразованное уравнение.

$-\dfrac{6}{x}\cdot \left(\left(-\dfrac{6}{x}\right)^2-3\cdot (-6-x^2)\right)=19\\ \\ -\dfrac{6}{x}\cdot \left(\dfrac{6}{x^2}+3x^2+18\right)=19~~~~\bigg|\cdot x^3\\ \\ -6x^2\cdot\left(\dfrac{6}{x^2}+3x^2+18\right)=19x^3\\ \\ \\ -36-18x^4-108x^2=19x^3\\ \\ \\ 18x^4+19x^3+108x^2+36=0\\ \\ \\ 18\left(x^2+\dfrac{19}{36}x\right)^2+\dfrac{7415}{72}x^2+36=0$

Видим, что левая часть уравнения принимает только положительные значения, а правая - 0, следовательно, уравнение решений не имеет.

Ответ: система решений не имеет.