Question

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ОЛИМПИАДУ
1. Через п'ять років вік брата буде відноситись до віку сестри як 8:7. Скільки
років кожному з них зараз, якщо рік тому брат був вдвічі старший від сестри?

2. Як посадити 10 яблунь, щоб знайшлося 5 рядків, у кожному з яких рівно 4
яблуні?

3. На гіпотенузі АВ прямокутного трикутника ABC взяли точки М та N такі,
що АС= AM i BC= BN. Доведіть, що
кут MCN дорівнює 45°.
(​

Answer 1

Задача 1:

Нехай теперішній вік брата х років, а сестри - у років. Тоді маємо дві пропорції:

$\frac{x+5}{y+5} =\frac{8}{7}$

і $\frac{x-1}{y-1} =\frac{2}{1}$

Спростимо першу рівність:

$\frac{x+5}{y+5} =\frac{8}{7}$

7*(х+5)=8*(у+5)

7х+35=8у+35

7х=8х+5

Спростимо другу рівність:

$\frac{x-1}{y-1} =\frac{2}{1}$

х-1=2*(у-1)

х-1=2у-2

х=2у-1

Підставляємо значення х до першої рівності:

7*(2у-1)=8у+5

14у-7=8у+5

6у=12

у=2

Тоді х=2*2-1=3

Отже, теперішній вік брата - 3 роки, вік сестри - 2 роки.

Задача 2:

Треба посадити яблуні у формі п'ятикінечної зірочки. Як на малюнку.

Задача 3:

Нехай кут MAC=х, а кут NBC=у

Сума кутів трикутника 180 °

х+у=90

Трикутники MAC і NBC рівнобічні.

Кут AMC=MCA, відповідно BCN=CNB

AMC=$\frac{180-x}{2}$

BCN=$\frac{180-y}{2}$

AMC+BCN=$\frac{180-х}{2}$+$\frac{180-у}{2}$=$\frac{360-(x+y)}{2}$

Згадуємо, що х+у=90.

Тоді AMC+BCN=$\frac{270}{2}$=135

Тоді кут MCN=180-135=45°