9.1. Выберите три различных цифры так, чтобы среди трёхзначных
"чисел, которые из них можно составить, оказались числа,
делящиеся на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10.
9.2. Даны три числа. Если бы первое из них увеличили на 40%, а
второе – на 20%, то сумма всех трёх чисел увеличилась бы на 2,5;
если бы второе число увеличили на 40%, а третье – на 20%, то
сумма увеличилась бы на 5; наконец, если бы третье число
увеличили на 40%, а первое — на 20%, то сумма увеличилась бы на
4,5. Какой могла быть сумма трёх исходных чисел?
9.3. Дан прямоугольный треугольник ABC (угол В - прямой).
Окружность с центром в точке В проходит через точку А и
пересекает сторону AC в точке D. Пусть E — середина стороны ВС.
Найдите углы треугольника ABC, если известно, что угол DEC -
прямой.
9.4. Дискриминант трехчлена f (x) = ах* + 2bx +с равен
дискриминанту трехчлена g(x) = (a+1)х* + 2(b – 2)x + c +4.
Найдите значение f(2).
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
9.1. Это цифры 3, 6 и 0.
Число 360 делится на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10.
Число 630 делится на 7.
9.2. Обозначим эти три числа a, b, c. Составим систему по условиям.
{ 1,4a + 1,2b + c = a + b + c + 2,5
{ a + 1,4b + 1,2c = a + b + c + 5
{ 1,2a + b + 1,4c = a + b + c + 4,5
Сокращаем подобные
{ 0,4a + 0,2b + 0c = 2,5
{ 0a + 0,4b + 0,2c = 5
{ 0,2a + 0b + 0,4c = 4,5
Умножаем все на 10
{ 4a + 2b + 0c = 25
{ 0a + 4b + 2c = 50
{ 2a + 0b + 4c = 45
Получили линейную систему, складываем все три уравнения
4a + 0a + 2a + 2b + 4b + 0b + 0c + 2c + 4c = 25 + 50 + 45
6a + 6b + 6c = 120
Делим все на 6
a + b + c = 20.
При некотором усилии можно найти отдельно каждую переменную.
Если интересно, a = 2,5; b = 7,5; c = 10.
Ответ: a + b + c = 20
9.3. Рисунок прилагается.
Так как угол DEC - прямой, то DE параллельна АВ (как перпендикуляры к одной прямой), а значит DE - средняя линия треугольника. Значит, D середина гипотенузы AC, тогда BD - медиана.
Есть такое свойство прямоугольного треугольника: медиана, выходящая из прямого угла, равна половине гипотенузы.
А в данном случае она ещё и равна радиусу окружности, то есть катету AB.
AB = BD = AD, то есть треугольник ABD равносторонний.
Угол BAD = BAC = 60°, а угол BCD = BCA = 30°.
Ответ: Углы треугольника ABC равны 30°, 60°, 90°.
9.4. Я квадрат буду обозначать ^2, как обычно в программировании.
f(x) = ax^2 + 2bx + c
Df = 4b^2 - 4ac
g(x) = (a+1)x^2 + 2(b-2)x + (c+4)
Dg = 4(b-2)^2 - 4(a+1)(c+4)
По условию Df = Dg
4(b-2)^2 - 4(a+1)(c+4) = 4b^2 - 4ac
4(b^2 - 4b + 4) - 4(ac + c + 4a + 4) = 4b^2 - 4ac
Делим все на 4
b^2 - 4b + 4 - ac - c - 4a - 4 = b^2 - ac
Сокращаем подобные
-4b - c - 4a = 0
4a + 4b + c = 0
Значение f(2) = a*2^2 + 2b*2 + c = 4a + 4b + c = 0
Ответ: f(2) = 0
