Question

На стороне AC треугольника ABC выбрана точка D. Точка H-основание перпендикуляра, опущенного из точки D на сторону BC. Точка M-середина стороны AB. Известно, что точки B, M, D, H лежат на одной окружности. Докажите, что угол BDC в два раза больше угла BAC.​

Answer 1

Дано :  DH⊥BC, AM = MB, BMDH - вписанный четырёхугольник.

Доказать : ∠BDC = 2∠BAC

Доказательство :

DH ⊥ BC  ⇒   ΔDHB - прямоугольный, вписан в окружность  ⇒

гипотенуза треугольника DB - диаметр окружности  ⇒

ΔDMB тоже прямоугольный, ∠DMB = 90°

Диаметр окружности в точку касания образует прямой угол с касательной   ⇒ ∠ADB = ∠BDC = 90°

ΔADB - прямоугольный,  DM - высота и медиана (AM=MB)  ⇒

ΔADB  равнобедренный  ⇒  ∠ABD = ∠BAD = 90° : 2 = 45°

∠BDC = 2∠BAC =2·45° = 90°

$\blacksquare$